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> 集合直积(笛卡尔积)的理解, 点集拓扑预备知识之集合论基础
PeterGhostWolf
2009-09-17, 17:50
Post #1


Cohomology is Everything.
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我们考虑两个集合X,Y,定义他们的直积 X * Y为集合C{(x,y)|x 属于 X 且y 属于 Y}
然后,推广至多个集合,可以得到(x1,x2,x3....,xn)这种形式的直积结果.
现在,考虑一般性的角标λ属于Λ,对于每一个λ存在一个集合Aλ与其形成映射.这时考虑所有的λ属于Λ对应的集合的直积.如果Λ是有限个自然数的集合{1,2,3...,n}(或者任意有限集,均可以一一映射到有限自然数集合),那么直积与前面说的无异.
现在考虑当Λ是无限集(可数无限或不可数无限)时所有形成的直积.这时我们会发现用括号括起来这种表达方式显得十分无力,所以要采用新的方式(当然,会抽象一些.)
我们把序对p = (x1,x2,x3...,xn)看作一个从{1,2,3....,n}到所有之并集的映射,并且规定p(1) = x1,p(2) = x2 ....以此类推.
当Λ为无限集时,我们也从这种角度去看集合的直积.我们可以产生如下的定义:
所有λ属于Λ对应的集合的直积是这样一个集合C{所有的映射f|对任意λ属于Λ,f(λ)属于}.
形象一点说,这个集合是一个映射的集合,它的每一个元素代表着一种不同的映射,从角标集合Λ到所有集合的并集的映射,且对于每一个角标,映射的结果都是该角标所对应集合中的某个元素.
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把序对作为映射,还有在此基础上定义的一些映射有浓厚的函数式思想,还有语法糖衣之类...
P.S:这是我自己写的...因为课本上有点跳跃,直接就把序对当映射用了...有不当不足之处欢迎各位大人指出!

This post has been edited by PeterGhostWolf: 2009-09-17, 17:57
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gaochen
2019-08-24, 03:43
Post #2


主物质者
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我是大陆的不是数学专业,偶尔看到你的理解勾起了我对大学里学的集合论的思潮,我觉得你没有理解到定义的本质,不是线性序集无限不无限的问题,也不是无法表达的问题,而是在对等意义下,集族的笛卡尔积是线性序集(标号集合)到集族广义并的所有映射的集合。

为了让非数学专业的人也能看懂(我不是数学专业的),我先通俗的介绍一下数学名词,再通俗的介绍一下笛卡尔积的两种数学定义以及理解

1、集合用概括性原则来定义,就是一堆可区别的独立的元素单体(可以是抽象的也可以是直观事物),当然这么定义有悖论存在,后来由公里集合论消除了悖论,称具有某一性质P的对象x全体,叫做类,类可以分为两种:一种叫集合,一种叫真类,真类是啥:集合的全体,序数的全体都是真类,可能到这里大家看不懂了,我不展开了,大家就认为集合依然用之前概况行原则来定义,就是一堆可区别的元素单体,一个元素要么属于一个集合,要不不属于,这是集合的确定性,集合举例:{a,b,c,d,e,f,g},{291,3819,abc,ppp...}。

2、集族:一种特殊的集合,以集合为元素的集合叫集族,例如:{{a,b},{c,d},{e,f}},{{1,2,3},{abc,edd},{71afda,fjda,911,71091}},可以理解了吧。

3、之前说的什么标号集或线性序集是啥:首先先说全序关系(全序关系是一种重要的二元关系,指集合A上的联通的偏序关系R,即A上的全序关系R具有自反性、反对称性、传递性和连通性),这段话大家能理解就理解,我不展开,举例全序关系:整数集合上的“不大于关系”就是全序关系,而定义了全序关系的集合称为全序集合或线性序集,而标号集就是正整数或自然数集合,最简单的举例就是{1,2,3...n},所以简单理解就是具有顺序的集合就行。

4、序偶,也叫有序对:一种特殊的集合,以一种确定的次序给出的两个客体的集合,例如{x,y},{522,123},就是两个元素且有顺序

5、n元有序组:对上面说的有序对的推广,按一定顺序给出的n个客体称为一个n元有序对,记作<x1,x2,x3,..xn>或者(x1,x2,x3,..xn)都行,x后面的都是下标啊,别看错了,我没法打出下标


6、集合的广义并:也就是集合的并的推广,我不展开,就说集合的并吧,就是由属于集合A的元素和属于集合B的元素所构成的集合C,举例:集合A{a,b},集合B{111,222},那么C就是{a,b,111,222}

7、关系,对应,映射,单射,满射,双射:
(1)关系:通常指二元关系,任一有序对的集合R称为一个二元关系,或者任何一个二元谓词P(x,y)确定一个二元关系,x组成的集合称为R的定义域,y组成的集合称为R的值域,举例,整数中的关系“大于”。
(2)对应:定义就不说了,与关系没有本质差别,分一一对应,1对多,多对1,多对多
(3)映射是一种特殊关系,说通俗一点,对于集合A(定义域)的任何元素a,在集合B(值域)中都有唯一与之对应,其中a称为b的原象,b称为a的象,B中不是所有元素都有原象,单射就是一一对应的映射,不存在多对1,更不存在多对多,而满射就是a都可以找到象,b都可以找到原象,双射就是单射+满射。

这些概念如下图所示:
(IMG:https://gss0.baidu.com/9vo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134c69065ba2b1f95cad0c85e4a.jpg)


有了上面的概念,接下来我说说笛卡尔积
笛卡尔积是一种特殊集合,由集合A的元素a与集合B的元素b做成有序对<a,b>组成的集合C,称为A与B的笛卡尔积或者叫A与B的直积,在推广一下,如果一个线性序集A和一个集族X有一一对应(双射),f(a)对应X(下标a),a属于A,那么集族中各集合的笛卡尔积集就是n元有序组(x1,x2,x3...xn)的集合M

第二种定义,M中的一个元素即一个n元有序组(x1,x2,x3...xn),能唯一确定集合A到集族X的并集合的且在满足条件
f(a)=x(下标a)属于X(下标a)的一个映射(例如{a,b}中的b属于{a,b},对应线性序集中的1),即我最开始讲的集族的笛卡尔积是线性序集(标号集合)到集族广义并的所有映射的集合。大家不懂了对吧?很难理解,那么我用图的方式直观告诉大家这段话什么意思

设集族X为{{a,b},{c,d},{e,f}},而其双射的线性序集A是数集(1,2,3),看下面的图

(IMG:https://gss0.baidu.com/-4o3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d229b357650482309f79152d2b0.jpg)


现在大家懂了这个概念定义的意思了吧,我看楼上是2009年发的,谁让我10年后才看到呢,估计楼主已经不看这个帖子了,那就作为以后学子学习的知识吧

This post has been edited by gaochen: 2019-08-27, 09:13
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